Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Рис. 29

3-1377

ус, называется первой матрицей инциден-

ной (вершина е иа рис. 29,а). В дальнейшем будут применяться графы без петель и изолированных вершин.

Граф называют ориентированным, если у каждого из его ребер be различают начало и конец. Если ребро be начинается у вершины ау- и оканчивается у вершины ау, -->

то его обозначают у (на схеме ориентация ребер обычно отмечается стрелкой) и называют дугой графа.

Коэффициентами инцидентности ориентированных ребер Ьс = ау, у с вершинами йу называют величины:

[ +1, если у=-у"; = -1 бсли у=у;

О, если уФуфу". (32)

Прямоугольная матрица, элементами которой являются величины d ций ориентированного графа.

Так, для графа, изображенного на рис. 29, г, первая матрица инциденций может быть записана в виде:

+1-1 0+1 О О О 0+1+1 О 0-1 О - 1 0-1 0-1 О О О О 0-1+1 0+1 О О О О 0+1-1 В этой матрице каждому ребру графа соответствует столбец, а каждой вершине - строка. Если ребро начинается у какой-либо вершины, то соответствующий элемент столбца равен -1, а если оно оканчивается, то соответствующий элемент равен +1. Так, в третьем столбце + 1 находится во второй строке (третье ребро оканчивается у второй вершины), а +1 находится в третьей строке (это ребро начинается у третьей вершины). Поскольку каждое ребро имеет начало и конец в каждом столбце, то обязательно будут находиться два и только два ненулевых элемента.

Нетрудно показать, что, задавая:

а) первую матрицу инциденций \\dye\\ для графа, полученного в результате упорядочения множества вершин и множества стержней некоторой фермы (нумерация и ориентация ребер графа произвольная);

б) матрицу координат узлов \\Zyh\\ (индекс k принимает значения 1, 2, 3 для пространственного и 1, 2 для плоского случая);

в) векторы жесткостей стержней ЦЯ/сИ,

мы имеем исчерпывающую информацию о расчетной схеме шарнирно-стержневой системы. Справедливость этого утверждения следует хотя бы из того факта, что перечисленных выше данных достаточно, чтобы построить чертеж фермы, а при помощи такого чертежа выполнить «ручной» расчет.

Используя введенную выше информацию, можно, например, получить длины всех стержней по известной формуле из аналитической геометрии:

YM • (33)

где /f -длина стержня;

ск - разность координат концов стержня, т. е. проекция стержня на координатную ось.

Эту разность в свою очередь легко получить из выражения

Ach = Zhydyc, (34)

которое легко может быть доказано, если обратить внимание на то обстоятельство, что для i-ro стержня можно найти только два коэффициента инцидентности dyi = = +1 и dyi=-h отличных от нуля. Следовательно, в развернутом виде, для координаты / выражение (34) запишется:

= d. + Zj, d,,+ .-.+ zy rf,., + • • • +

Подстановка (34) в (32) дает окончательную форму записи

(36)

=i/i: (S у)=./S S S d d, г,.

V k у V k у у,

Также нетрудно получить н элементы матрицы косинусов между направлениями стержней и осями координат:

е., - (37)

V Ку у.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63