Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Уже из этих простейших примеров видно, что использование такого элементарного понятия из теории графов, как первая матрица инциденций ufj,cll, полностью исключает необходимость обращаться к чертежу и позволяет формализовать те «очевидные» расчетные операции, которые при ручном счете обычно не фиксируются, но становятся ощутимым препятствием при попытке автоматизировать расчет.

Ниже, на примере все той же шарнирно-стержневой системы покажем, как может быть формализована и более сложная задача, а именно - составление уравнений для расчета статически неопределимой фермы. Возможность вьшолнения этой задачи без обращения к чертежу далеко не очевидна [64].

Выше были использованы некоторые простейшие свойства матрицы инциденций \\dyc\\, в частности эта матрица использовалась как величина, с помощью которой удалось по заданной на множестве узлов U функции ZyhiyU) определить разность значений функции, определенную на множестве стержней С.

В настоящем параграфе мы постараемся определить некоторые простейшие правила для такого рода преобразований, выполняемых с помощью первой матрицы инциденций ориентированного графа.

В первую очередь отметим несколько элементарных преобразований:

dyodyc=Dyc; (38)

i(....-J=4.: (39)

-Mc + dyc)==D;- (40)

Первое из этих соотношений позволяет получить матрицы инциденций для неориентированного графа и может быть использована в тех случаях, когда по каким-либо причинам возникает необходимость рассматривать граф без учета ориентации его ребер.

Соотношения (39) и (40) дают нам возможность рассматривать отдельно начала и концы ребер, поскольку, как нетрудно убедиться,

I +1, если ребро у начинается у вершины с; \ О, во всех остальных случаях;

(+1. если ребро у оканчивается у вершины с; \ О, во всех остальных случаях. Матрицы WDycW, WDycW, \\D"yc\\, вообще говоря, могут быть заданы и непосредственно, но нам казалось нелишним определить зависимости (38)-(40) для того, чтобы еще раз подчеркнуть ту мысль, что матрица ЫуЛ является исчерпывающей информацией о структуре системы.

Ниже мы будем использовать свойства матрицы, связанные с умножением на нее:

2ЛАс==5с; (41)

dycMcNy. (42)

Первое из этих соотношений уже было использовано выше. Оно дает возможность получить разность некоторых величин, определенных из множества U{yU) как функцию номера ребра с, соединяющего те вершины, для которых берется разность значений Ау. Таким образом, соотношение (41) определяет некоторое свойство «избирательного дифференцирования на ребре с», которым обладает операция умножения на Wdydl со свертыванием по индексу у.

Второе соотношение определяет свойство «избирательного интегрирования в узле у», которым обладает операция умножения на Wdydl со свертыванием по индексу с. В результате этой операции мы получаем для каждого узла сумму значений некоторых величин, заданных на множестве С(сеС), причем суммирование распространяется только на те ребра, которые инцидентны данной вершине.

Соотношениями (41) и (42) удобно пользоваться в задачах строительной механики, поскольку с их помощью формализуются многие выкладки.

Необходимо отметить, что эти операции не являются взаимообратными, т. е. если

Aydyo = Bc; B,dcy=Cy, (43)

АуфСу. (44)

Наконец, можно привести еще и преобразования, связанные уже не с матрицей Wdydl, а с матрицами WDycW и \Ш1с\\:

\yc = Bci (45)

Кс-с- (46)

в этих преобразованиях матрицы WDydl и вы-

полняют роль своеобразных «сортировщиков», отсеивая друг от друга величины, относящиеся к различным концам ребер графа.

Интересно отметить, что введенные Л. Г. Дмитриевым [16] дискретные операторы могут быть получены на основании рассмотренных свойств матрицы инциденций. Так, например, «суммирующий оператор для узла k" эквивалентен умножению на матрицу Wdyd] со свертыванием по индексу с, т. е. результат воздействия этого оператора на некоторую величину Мс, заданную на множестве С, равен величине Ny, определенной по формуле (42). Другие операторы также можно получить на основании свойства матрицы инциденций.

§ 9. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СВОБОДНОЙ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

Обозначим через Ру векторы внешних узловых нагрузок, а через Syc векторы продольных усилий в стержнях, точнее - пару векторов, которая характеризует воздействие стержня на узлы, к которьш он примыкает. Следует обратить внимание на то, что Syc является функцией не только номера стержня, но и номера узла, чем учитывается известное правило знаков - усилие в стержне положительно, если Syc направлены от узлов в сторону стержня.

Пара векторов Syc обладает следующими свойствами:

а) обе компоненты этой пары направлены вдоль стержня;

б) обе компоненты имеют равные модули Sc, а направления их взаимно противоположны.

Если ввести в рассмотрение вектор 1с, модуль которого равен длине стержня 4, а направление совпадает с принятым положительным направлением стержня (оно обозначено стрелкой ]ia графе), то можно записать

Sy, = -S,d,y. (47)

Условия равновесия узлов свободной формы можно представить в виде векгориых равенств

i;S-fP, = 0. (48)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63