Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ 12 ] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Если выразить Ру через координатные орты:

Py = I,Pyke,. (49)

где Pyh - проекции узловых нагрузок на координатные оси, то (48) можно представить в виде:

25,rf,„ + Si,,e, = 0. (50)

Умножим (50) скалярно на е, учитывая при этом, что скалярные произведения ортов равны *:

1 (fe = fe,);

О {кфк,).

(51) (52)

После умножения окончательно получим систему уравнений

2 С hcScdyc-}- Pyh = о

(53) (54)

(у=1, 2, у; k=l, 2, 3).

Свойства полученной системы линейных уравнений относительно неизвестных модулей внутренних усилий Sc целиком определяются матрицей коэффициентов системы. Интересно отметить, что эта матрица является трехмерной, а ее привычная запись в виде

11 21 12 22 • •lldi

	122-
	22 22*
	22 •	•C2-cd-i
	3212-
<31 21	3222-

3ldyl 32dy2

,{c)

Напомним, что расчет ведется по недеформироваииой схеме.

является no существу представлением пространственной матрицы WCchdycW при помощи сечений ориентации k [81].

Введем новый щщекс и, меняющийся от единицы до значения u=yk и связанный с индексами у н k соотношением

4=y+ky-y. (55)

Тогда матрица WCchdycW может быть записана в виде ЦЛисИ. а элементы последней вычислены по формуле

Лис = Cchdyc{u = y + ky -~у). (56)

В этих обозначениях система уравнений равновесия может быть представлена в таком виде:

2Л„е5с + Я. = О (57)

(ы= 1, 2, .... Z).

§ 10. КИНЕМАТИКА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

Предположим, что стержни фермы получили некоторые малые удлинения Хс, а узлы - совместные с этими удлинениями перемещения Ау. Разность проекций перемещений концевых узлов стержня на ось стержня равна его удлинению (рис. 30), что с учетом свойств матрицы инциденций может быть записано в виде векторного равенства

K-l\dy,. (58)

Вектор с модулем "Кс направлен вдоль оси стержня, т. е.

(59)

Рис. 30

а векторы Ау могут быть представлены своими разложениями на координатные орты:

(60)

где Дуй - проекция перемещения узла у на /г-ю координатную ось.

с учетом (59) и (60) основное уравнение (58) представим так:

I]SH.**-«- = 0. (61)

Умножим уравнение (61) скалярно на орт стержня:

SS Д, - Я, . f = О (62)

у k

и учтем, что

= 1. (63)

Ч =С,,. (64)

Тогда основное кинематическое уравнение приобретет вид:

SSChceyAyft -Яс = 0 (65)

или С учетом (56):

-ЕЛс„Д„ -Ь Яс = О (66)

(с"= 1, 2, с). Матрица коэффициентов этого уравнения -А

cull является транспонированной с обратным знаком матрицей коэффициентов системы уравнений равновесия (57). Этот результат не случайный, он является общим для любых систем, рассчитываемых по недеформированной схеме, и может быть сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Система линейных уравнений равновесия и система линейных кинематических уравнений, записанные для произвольной стержневой системы, при расчете по недеформированной схеме образуют двойственную пару, в том смысле, что:

а) неизвестные одной системы и свободные члены другой системы являются соответствующими друг другу обобш,енными силами и обобщенными перемещениями;

б) матрица коэффициентов одной системы может быть получена из другой путем транспонирования с переменой знака.

Для произвольных шарнирно-стержневых систем эта теорема по сути доказана выше, что же касается систем

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ 12 ] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63