Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

более общего вида, то доказательство производится аналогично. В частности, можно воспользоваться понятием дисковой системы, которую можно рассматривать как ферму, и выполнить предельный переход, как это сделано в монографии А. А. Уманского [86].

§ и. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ И КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

При выводе уравнений (57) и (66), кроме предположения о малости перемещений, никакие другие ограничения не вводились, поэтому эти уравнения справедливы для любого ко личества стержней с и узлов г/, а также для плоского ( = 2) и пространственного ( = 3) случая. В связи с этим возникает вопрос о разрешимости полученных систем линейных уравнений, которым мы займемся в этом параграфе.

Прежде всего рассмотрим тот случай, когда система уравнений равновесия (57) такова, что все внутренние усилия могут быть определены из нее однозначно при произвольных нагрузках Я„. Для этого, как известно из линейной алгебры [74], необходимо и достаточно, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, а определитель системы был отличен от нуля, т. е. должно быть:

с=ы;

(67)

Системы, обладающие такими свойствами, являются статически определимыми. Ниже для сокращения записи мы их будем иногда обозначать символом 5+, если же для определения всех внутренних усилий уравнений равновесия недостаточно, то мы будем употреблять символ 5~ и называть такие системы статически неопределимыми.

Замечательными свойствами систем S+ (статически определимых) являются:

а) возможность представить все внутренние усилия в виде линейных комбинаций внешних нагрузок;

б) справедливость принципа независимости действия сил.

Первое следует непосредственно из предположения о разрешимости системы линейных уравнений (57). Дей-

вительно, если справедливы условия (67), то существует обратная матрица

КМ\ЛисГ\ (68)

через элементы которой выражаются все неизвестные внутренние усилия:

Sc=lla,,P, (с=1,2,...,с"). (69)

Что касается второго свойства систем S+, то справедливость его вытекает из выражения (69). Следует отметить, что в общем случае систем из нелинейно-упругих элементов линейные выражения (69) относятся только к статически определимым системам, для систем типа 5- они не могут быть применены.

Рассмотрим теперь случай, характеризуемый неравенством

с > ы. (70)

Здесь в свою очередь могут быть рассмотрены две возможности:

а) ранг матрицы 1Ис„ равен и{г = иу,

б) ранг матрицы Лси11 меньше и{г<и).

В случае г=и, как известно из линейной алгебры [74], однородная система линейных уравнений

S4„A„=0 (с-1.2,...,с>ы) (71)

может иметь только нулевое решение:

Д„ = 0. (72)

Если же г<и, то система (71) имеет кроме тривиального решения (72) еще и ненулевые решения, т. е. изучаемая стержневая система допускает существование ненулевых узловых смещений Ди без удлинений ее элементов (все деформации Яс = 0). Последнее свойство называют геометрической изменяемостью. Ниже мы его будем отмечать символом Г+, а противоположное ему свойство, характеризуемое отсутствием всех узловых перемещений при нулевых деформациях (геометрическая неизменяемость), обозначим символом Г-.

Итак, можно отметить, что система обладает свой-ство.м Г-, если г=и<с, и обладает свойством Г+, если

r<u<c, причем для системы Г однородная задача (72) имеет только нулевые решения.

Для анализа системы линейных уравнений равновесия (57) воспользуемся известной алгебраической теоремой [84].

Теорема 2. Система линейных алгебраических уравнений

2Л„с5с -Ь Р„ = О (а)

совместна тогда и только тогда, когда для любого решения

Д = Дь Дг, Ди (б)

сопряженной двойственной однородной системы уравнений

2ЛеиДи = о (в)

справедливо соотношение

I.PuAu = 0. (г)

в том случае когда речь идет о геометрически неизменяемой системе Г-, условия (г) выполняются всегда. Если же рассматривается система Г+, то условие (г) теоремы выделяет из бесчисленного множества нагрузок определенный класс, который можно было бы назвать равновесными нагрузками, отличительной особенностью которого является то обстоятельство, что под воздействием нагрузок этого класса геометрически изменяемая система находится в равновесии.

Следует отметить, что ограничения типа условия (г) теоремы не исключают полностью какие-либо нагрузки. Действительно, две равные и противоположно направленные силы, приложенные вдоль оси стержня, уравновешиваются в его пределах. Следовательно, всегда можно сконструировать нагрузку так, как это показано на рис. 31, причем для любой линейной комбинации таких попарно равных сил полученная нагрузка будет относиться к классу равновесных.

Кроме вопроса о совместности системы уравнений равновесия следует еще рассмотреть вопрос о том, какой вид имеет решение системы (57). В линейной алгебре доказьшается, что есл1 ранг матрицы коэффициентов системы и уравнений с с неизвестными («<с) равен г, то достаточно решить лишь те г уравнений, которые со-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63