Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Пусть в элементах Си (v=l, 2, v) усилия должны быть определенного знака, например положительными. Вычисляя их по формуле (75), мы можем встретить два случая:

а) неравенства Sc„ >0 нарушены;

б) неравенства S >0 не нарушены. В этом случае при перемене знаков всех внешних сил они нарушаются. В обоих случаях, следовательно, можно указать нагрузки, при которых элементы с, выключаются из работы, при этом в системе уравнений равновесия можно не рассматривать соответствующие столбцы, а в двойственной ей системе кинематических уравнений (см. теорему 1) выпадают соответствующие строки. Но при этом система кинематических уравнений будет иметь больше неизвестных, чем уравнений, и однородная система

2Ле„Л„ = 0 (с=И=Со) (77)

уже не будет иметь только нулевое решение. Это обстоятельство характерно для геометрически изменяемых систем Г+, что противоречит нашему предположению и доказывает теорему.

Следствие. Если система имеет элементы, воспринимающие усилия только одного знака, то она не может обладать свойствами (Г-, П+, S+) и (Г- Я- S+).

Теорема 4. В геометрически неизменяемой статически неопределимой системе всегда можно создать по крайней мере одно отличное от нуля самонапряженное состояние, удовлетворяюи{ее системе однородных линейных уравнений равновесия

2Л„е5с = 0 (с= 1, 2, с) (78)

и ограничениям-неравенствам на знаки некоторых (или всех) внутренних усилий

S,>0{v=\,2,--,v<c). (79)

Доказательство основано на известной в теории линейных неравенств теореме Таккера [84], гласящей, что система однородных линейных уравнений

А-Л- = 0 (1=1, 2, т) (80)

имеет неотрицательное нетривиальное решение

лгО (/=1, 2, п), (81)

если не найдутся числа

«i(i= 1, 2, m). (82)

подстановка которых в левую часть двойственной однородной системы приводит к строгим неравенствам

2AjiUi>0 Ц=\,2, ...,п). (83)

Но в случае геометрически неизменяемой системы двойственная однородная система

2Ле„А„ = 0 (с= 1, 2, с) (84)

г*с~п

г* г с

15:

1 г----}

Рис. 33

имеет только нулевые решения и не существуют перемещения Л„(«= 1, 2,и), которые бы приводили к строгим неравенствам типа (83). Следовательно, есть по крайней мере один набор неотрицательных неравных одновременно нулю неизвестных (79), удовлетворяющих системе уравнений равновесия (78). Теорема доказана.

Следствие. Не существуют системы, обладающие свойствами (Г- 5- П-) и (Г- 5+, П-).

К доказанному выше можно добавить очевидную теорему.

Теорема 5. В статически определимой системе невозможно создать отличное от нуля самонапряженное состояние.

Из этой теоремы следует, что не существует систем со свойствами (Г+ S+, Я+) и (Г- S+ П+).

Что касается оставшихся сочетаний {Г-, S-, П+); (Г+ S+ Я-); {Г+, S-, П+) и (Г+, S-, Я~), то такие свойства могут сочетаться в системах со связями, воспринимающими усилия только одного знака. Элементарные примеры таких систем (вантово-стержневых) приведены на рис. 33. Таким образом, на поставленный в начале этого параграфа вопрос дан исчерпывающий ответ.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63