Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Выполняя интегриропапие п возвращаясь к переменным Хп, получим окончательно:

п п.

2 j""""

п Ь

(105)

Нетрудно убедиться путем непосредственного дифференцирования, что частные производные выражения (105) по переменным x„ равны нулю в силу условий (98).

§ 18. О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА СИЛ

Система нелинейных уравнений (98), вообще говоря, имеет много решений, однако действительным состояниям вантово-стержневой системы будут отвечать только те значения неизвестных, при которых имеют силу ограничения на знаки усилий в вантовых элементах:

H,Hl+Hl+l,hb„x„>Q (106)

(6= 1.2,...,6).

В л-мерном пространстве неизвестных {xi, хр, Хп) каждому набору неизвестных х„(п=1, 2, п) соответствует точка X. Множество точек X, координаты которых удовлетворяют неравенствам (106), образуют некоторую область Q, которую мы будем называть областью допустимых решений, а принадлежность точки X к этой области Q будем, как это принято, обозначать XQ.

Нас будет интересовать вопрос о количестве решений системы уравнений (98), которые относятся к Q. Поскольку система (98) может быть представлена в эквивалентном виде (100), то можно говорить о числе минимумов функции и*, находящихся в Q.

Теорема 6. Функция дополнительной работы вантово-стержневых систем (105) строго выпукла в области допустимых решений (106).

Для доказательства воспользуемся известным фактом [20] -для строго выпуклой функции F{xi, лг„) выражение

является монотонно возрастающей функцией К при произвольном выборе точек X={xi, Х2, х„} и X"={xv

Составим выражение типа (107) для функции [/*, причем воспользуемся тем обстоятельством, что частные производные имеют вид левых частей уравнений (98):

п л,

2 ХппЬЬ

2 п [Ь

Hl + Hl+h,„{x„ + lx,]

(108)

Производная от (108) по X

+ -LyV in)XbDb .

n 6 л,

положительна при условиях:

ХеЙ; XeQ; Я>0. (ПО)

Действительно, первый член выражения (109) положителен вследствие того, что матрица 6„ri, II положительно определена, что касается второго члена, то числитель каждого из слагаемых положителен всегда, а знаменатель - в том случае, если выполняются условия (ПО).

Положительность производной (109) свидетельствует о том, что f{k) есть функция, монотонно возрастающая, что и доказывает теорему.

5* 67

Теорема 7. Если решение системы нелинейных уравнений метода сил (98), удовлетворяющее ограничениям на знаки натяжений (106), существует, то оно единственно.

Действительно, вместо решения системы уравнений (98) можно решать следующую задачу математического программирования - найти неизвестные {xj, хг, Хп), которые минимизируют функцию

. (П1)

1- X

Л /г, п п Ь

Рь £L

при ограничениях

Я°ь + я;-f 1]/г,„х„>0(б= 1,2,...,). (112)

Поскольку f/* -выпуклая в Q функция, а ограничения образуют выпуклое множество, то на основании известного утверждения [20] о том, что выпуклая функция достигает минимума только в одной точке выпуклого множества (если последнее не пусто), можно утверждать, что теорема доказана.

§ 19. СЛУЧАЙ ИСЧЕЗАЮЩЕ МАЛЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК НА ВАНТОВЫХ ЭЛЕМЕНТАХ

Во многих случаях можно получить удовлетворительное приближенное решение задачи о расчете вантово-стержневой системы, если пренебречь влиянием непосредственно приложенных к вантовым элементам нагрузок. К этому случаю мы придем, если устремим к нулю значения

входящие в уравнения состояний гибких нитей. Как уже отмечалось в § 6, в этом случае график зависимости «натяжение - удлинение» вырождается в две полупрямые:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63