Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

А 4, при А > 0; о, при А < О,

которые характеризуют работу Байтового элемента как односторонней (неудерживающей) связи.

Задача математического программирования (111) и (112) при этом вырождается в задачу квадратичного программирования - найти неизвестные {х\, Х2, Хп}, которые минимизируют квадратичную функцию

=TSSAA+SVn. (ИЗ)

я rii п

при ограничениях

я2 + Я; + 2„„> (6=1.2....F). (114)

Следует отметить, что переход от задачи (111) и (112) к задаче квадратичного программирования (ИЗ) и (114) выполнен не вполне корректно. Действительно, соотношения (111) и (112) являются следствиями из условий стационарности функции дополнительной работы и, следовательно, требуют, чтобы в точке, где достигается минимум функции и*, выполнялись условия стационарности:

= 0(л= 1,2,...,п). (115)

В задаче (111) и (112) эти условия выполняются всегда, поскольку минимум и* достигается внутри области Q. Справедливость этого утверждения следует уже из того факта, что на границах области Q обращается в нуль по крайней мере одна из величин:

Hb,=Hl. + Hl. + Yht.nXn, (116)

что немедленно приводит к бесконечно большому значению целевой функции (111).

Что же касается задачи (113) и (114), то здесь реализация решения на границе области допустимых решений вполне осуществима и, следовательно, выполняя предельный переход к D;, = 0, необходимо было бы ис-

следовать и тот случай, когда одновременно обращается в нуль выражение (116), входящее в знаменатель (111).

Тем не менее можно показать, что сведение проблемы расчета системы с односторонними связями к задаче квадратичного программирования вполне правильно. Поскольку проблема расчета систем с односторонними связями [59, 61] сама по себе представляет значительный интерес, этому вопросу посвящен следующий параграф.

§ 20. РАСЧЕТ УПРУГИХ СИСТЕМ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ КАК ЗАДАЧА КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В этом параграфе будем рассматривать системы с односторонними связями произвольного вида, не обязательно трактуя односторонние связи как Байтовые элементы. Будем использовать обычные предпосылки строительной механики (малость перемещений, идеальная упругость и т. д.), предполагая при этом, что расчет можно выполнять по недеформированной схеме.

Класс изучаемых конструкций ограничим си-Рис. 38 стемами, которые после замены всех односторонних связей двусторонними становятся неизменяемыми 2. Примеры таких систем показаны на рис. 38.

Услови.мся о следующем правиле знаков для усилий и перемещений в односторонних связях:

а) усилие и в односторопней связи будем считать положительным, если оно может быть воспринято этой связью;

б) перемещение z по направлению односторопней связи будем считать положительным, если оно не ограничивается этой связью.

Данный параграф написан совместно с В. И. Гордеевым. Сравни с определением квазинетмсияомости 1).

при этом правиле знаков действительные перемещения и усилия в односторонних связях могут быть только неотрицательными.

Рассмотрим наряду с заданной системой 5 систему 5с, которую можно получить из 5 следующим образом: . а) все односторон-

ние связи заменяются двусторонними;

б) в полученной в общем случае статически неопределимой системе устраняются лишние связи так, чтобы перемещения по направлениям заменяющих связей не вызывали бы в них никаких усилий; это всегда можно сделать выбирая, например, статически определимую основную систему.

Некоторые примеры построения системы 5с приведены на рис. 39.

Сформулируем следующую задачу квадратичного программирования.

Минимизировать

Рис. 39

(117)

/=1 /,=1

при ограничениях

= I] n,iX. -I- «Р; > О == 1, 2,... , S). (118)

Здесь обозначено:

Xj- усилия в устраненных связях системы 5с; б-д-перемещения по направлению устраненной /-й связи от воздействия х. = 1;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63