Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

-перемещения по направлению /-й связи в системе, нагруженной внешней нагрузкой, когда все Xj = 0 (/=1, п), а система находится в состоянии, соответствующем замкнутым односторонним связям;

-усилия в заменяющих связях от воздействия Xj = l в системе Sc;

то же, в системе Sc, нагруженной внешней нагрузкой, при всех Xj = 0.

Необходимо помнить, что правило знаков для усилий и перемещений заменяющих связей должно совпадать с правилом знаков для соответствующих односторонних связей.

Как известно из теории квадратичного программирования [20, 34], задаче (117), (118) эквивалентна следующая задача Лагранжа - определить неизвестные Xj, Zk и Uk, удовлетворяющие системе ограничений:

bnx,-tn,jz, +61=0; (119)

/.=1 ft=i

«,= tn,iX. + nP; (120)

%0; гО; (121)

%2ft=0 (122)

(У, /, = 1, 2, и; fe= I, 2, S).

Покажем, что эти условия всегда выполняются в действительном равновесном состоянии системы S, если истолковать (k=l, 2, s) как перемещения по направлению односторонних связей, а Ukik=\, 2, s) - как усилия в них.

Пусть в равновесном состоянии в системе S возникают усилия Xj, соответствующие устраненным связям, а перемещения по направлению односторонних связей равны Zft. Приложим к системе Sc усилия Xj и сместим заменяющие связи на величину Zk. Если обозначить

- перемещение по направлению /-Й устраненной лишней связи от единичного перемещения k-й замеияю-

щей связи, то можно значения перемещений в системе 5с представить в виде:

di=tf>i,x,. + t6%z, + 6, (123)

а усилия в заменяющих связях так:

t. + n. (124)

Усилия Rh не зависят от перемещений Zk, в соответствии с правилом «б» образования системы 5с, что и отмечено в формуле (124).

На основании теоремы о взаимности реакций и перемещений [60] (а эта теорема для системы 5с справедлива)

б, = -п.; (125)

и,следовательно,

rf- = i:S;,./,-tn,.A + 6f- (123а)

Потребовав, чтобы в системе 5с отсутствовали перемещения dj, а усилия в заменяющих связях равнялись усилиям в соответствующих односторонних связях системы 5, мы придем к уравнениям (П9) и (120), которые являются условиями эквивалентности 5 и 5с. Условия

(121) являются ограничениями, налагаемыми односторонними связями, и при принятом выше правиле знаков, естественно, выполняются в действительном состоянии системы 5. Что же касается условия (122), то оно выполняется в силу того, что в односторонних связях при усилии, не равном нулю, отсутствуют перемещения (связь замкнута), а при перемещении, не равном нулю, отсутствуют усилия (связь разомкнута).

Таким образом, условия задачи Лагранжа (119) -

(122) выполняются, если переменные Xj, Zh и Uh соответствуют действительному состоянию заданной системы, а это, в силу эквивалентности задач (119) -(122) и (117) и (118), подтверждает справедливость экстремального принципа (117) при ограничениях (118).

Образуем другую вспомогательную систему 5п (рис. 40), для чего:

а) устраним все односторонние связи - а их воздействие на систему заменим усилиями Uh, правило знаков для которых совпадает с правилом знаков для усилий в односторонних связях;

б) в полученной в общем случае геометрически изменяемой системе введем дополнительные связи так, чтобы усилия не вызывали перемещений по направлению односторонних связей.

и, «Ш» и, U} и»

Рис. 40

Последнему предположению можно всегда удовлетворить, если, например, установить дополнительные связи там же, где были расположены односторонние связи. Естественно, что, кроме этого, можно установить и ряд других дополнительных связей (или установить меньшее число связей, если система имеет бесконечно жесткие участки).

С системой 5п можно связать следующую задачу квадратичного программирования. Минимизировать

(=1 /:,=!

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63