Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

при ограничениях

г.- :.А + ?;*>о (127)

{k= l,2,...,s),

где введены обозначения:

А,--перемещение г-й связи в системе Sn\ г.. - усилие в дополнительной t-й связи от смещения А,= 1;

г? - то же, от воздействия внешней нагрузки - в состоянии, когда все Аг = 0 (t = l, 2, т) и « = 0 (=1,2, S);

с,1-перемещение по направлению k-k односторонней связи от воздействия Ai=l в системе Sa\

сР-то же, от воздействия внешней нагрузки при несмещенных дополнительных связях.

Задача Лагранжа, эквивалентная задаче (126) и (127), формулируется так - определить неизвестные Ai, Zh и Uh, удовлетворяющие системе ограничений:

V Г,\~ iA + f=0; (128)

%0;2fe0; (130)

%Zfe = 0 (131)

(I, i, = 1, 2, m;k = \,2, s).

Эти условия, как и условия (119)-(122), всегда выполняются в действительном равновесном состоянии системы 5, если Zh и Uh являются соответственно перемещениями и усилиями в односторонних связях.

Действительно, если приложить к S„ усилия Uk и дать дополнительным связям перемещения А,, соответствующие действительным перемещениям в системе S, то реакции в дополнительных связях будут равны:

(,=1 fe=l

где rji - реакция t-й дополнительной связи от единичного усилия в k-u односторонней связи. Если учесть, что

4 = (133)

то реакции можно представить в виде:

Р.= 2-.А-Л + -?- (132а)

(,=1 А=1

За счет смещений Аг и воздействия внешних нагрузок в системе 5п возникнут также перемещения по направлению односторонних связей

d,= }:c,A, + cP, (134)

не зависящие от усилий и, в силу договоренности о способе образования системы Зц.

Потребовав, чтобы рг=0 и dh=Zh, мы придем к уравнениям (128) и (129), которые являются условиями эквивалентности систем S и Su- Далее можно повторить рассуждения, приведенные выше, и убедиться в справедливости экстремального принципа (126) при ограничениях (127).

Известно, что задача квадратичного программирования имеет единственное решение в том случае, если квадратичная форма, входящая в выражение минимизируемой функции, является положительно определенной.

Квадратичная форма в случае решения задачи (117) и (118) полностью определяется вспомогательной системой, получаемой из заданной системы с односторонними связями 5 путем замены всех односторонних связей двусторонними. Коэффициенты квадратичной формы бд являются также коэффициентами системы уравнений метода сил для вспомогательной системы. Если матрица перемещений llSyyJj является положительно определенной, то заданная система с односторонними связями имеет единственное решение относительно неизвестных усилий Xj. Поскольку усилия в односторонних связях выражаются через Xj при помощи зависимостей (118), то и эти усилия определяются единственным образом. Что каса-

ется перемещений по направлению односторонних связей, то нельзя утвеждать, что все они будут единственными, хотя часть этих перемещений однозначно определяется условиями (122). Положительная определенность ЦбудЦ является также и условием единственности решения задачи расчета вспомогательной системы, откуда следует теорема.

Теорема 8. Достаточное условие единственности решения относительно усилий в системе с односторонними

U-Q (Z-0) X (Ь)

Рис. 41

связями сводится к требованию положительной определенности матрицы перемеиений Цб..Ц для системы Sc и совпадает с условием единственности решения для вспомогательной системы, в которой односторонние связи заменены двусторонними. Теореме 8 аналогична теорема 9.

Теорема 9. Достаточное условие единственности решения относительно перемещений в системе с односторонними связями сводится к требованию положительной определенности матрицы реакций \\г..\ для системы 5п и совпадает с условием единственности решения для вспомогательной системы с отброшенными односторонними связями.

Следует отметить, что последнее условие выполняется лишь в случае систем с односторонними лишними связями. Что касается единственности усилий, то условие единственности выполняется в подавляющем большинстве случаев.

Доказанные выше два экстремальных принципа сводят задачу с расчета системы с односторонними связями к задачам квадратичного программирования (117) и (118) или (126) и (127). Естественно поэтому рассмот-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63