Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

дхп dHh

b

ftp.

Система уравнений в вариациях будет иметь такой вид:

" =0;

ii Pi Pib ь - -

(165)

Полученная система уравнений линейна относительно вариаций х„(п=1, 2, п), Wp{p=l, 2, .... р), Sy{y-=\, 2, ) и Нъ{Ь - \, 2, 6). Ее можно упростить, исключив

неизвестные 5j, и Нь, которые входят элементарным образом в третью и четвертую группу уравнений (165). При этом окончательно получим линейную однородную систему (п+р) уравнений относительно вариаций Хп и Wp, исследование которой и дает нам основание для суждения об устойчивости (в малом) заданной вантово-стержневой системы.

Глава 6. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА СИЛ ПРИ ПОМОЩИ КООРДИНАТНОГО СПУСКА

§ 25. ИДЕЯ МЕТОДА КООРДИНАТНОГО СПУСКА

Для решения системы нелинейных уравнений метода

--Irllhnb

0 -\

(я°+я; + Ел,„х„)2 (я

.0\2

= 0 (166)

применим метод спуска [18, 20], краткое описание которого приводится ниже.

Решение системы нелинейных уравнений

fiiXu Х2, Хп) = О

(i = 1, 2, п)

(167)

сведем к задаче отыскания минимума некоторой функции 0(1, Хп), которую можно построить различными способами, положив, например,

(168)

Ф(ХиХ2,..., л:„) = 2 2 fi {Хи Хп) aijfj {хи Хп), (169)

где Gjj - элементы некоторой положительной определенной матрицы.

функцию Ф{хи Х2, Хп) можно построить и другими способами, важно при этом лишь одно -минимум этой функции должен достигаться в точке Х* = {х1, х1, x*J, координаты которой являются решением системы (167). В задачах строительной механики в качестве функции Ф удобно принимать энергию деформаций (если решение выполняется по методу перемещений) или функцию дополнительной энергии (если решение выполняется по методу сил). В обоих случаях минимум Ф совпадает с решением системы соответствующих канонических уравнений.

Для дальнейшего будет удобно пользоваться геометрической терминологией. Для этого введем в рассмотрение (п+1)-мерное пространство с координатами {Ф, Хи Х2, -, Хп}, в котором условие (168) или аналогичное ему изображает некоторую гиперповерхность S. Можно говорить, что задача состоит в том, чтобы определить координаты «наинизшей» точки на поверхности S, для чего обычно используются методы спуска.

Примем в качестве начального приближения к решению задачи точку X<°i= {лг}", 4".....xj} и выберем какую-нибудь гиперплоскость, содержащую точку ЛС) и параллельную оси Ф, которая пересекает поверхность S по некоторой линии L(°). Очевидно, что, двигаясь вдоль этой линии до тех пор, пока на ней не встретится точка минимума ХО, можно уменьшить значение функции Ф. В точке Л* можно повторить те же построения, т. е. выбрать новую гиперплоскость, которая определяет новое направление L<) и, двигаясь вдоль L<), найти точку минимума да. Таким образом, получаем последовательность точек XW, ХО), да,..., каждая из которых лежит более близко к X*, чем предыдущая (рис. 45).

В зависимости от того, каким образом выбирают направления L(), можно «спуститься» к решению X* за большее или меньшее число шагов. Часто применяют метод «наискорейшего» спуска, в котором направления

совпадают с наибольшей крутизной ската поверхности S в точке Однако при этом следует в каждой из точек да вычислять градиент Ф (направление наиболее быстрого изменения Ф), что в некоторых случаях существенно усложняет вычисления. Более просто организуются вычисления, если выбирать направления L<) параллельными координатным плоскостям, изменяя за один раз

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63