Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [ 32 ] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

только одну из координат в фиксированном порядке (например, в соответствии с нумерацией координат). В этом случае может потребоваться сделать большее число шагов, однако каждый из них упрощается.

Рис. 45

Таким образом, каждый из шагов описанного выше координатного спуска сводится к уточнению /-й неизвестной в системе нелинейных уравнений или к решению одного нелинейного уравнения

дФ dxi

(170)

относительно неизвестной Xj при неизменных значениях всех прочих неизвестных.

Применительно к системе уравнений метода сил (166), когда Ф=и*, уравнение (170) выражает условие совместности деформаций в месте устраненной /-й связи, так как частная производная от функции дополнительной работы и* равна обобщенному перемещению-

Таким образом, механический смысл тех расчетных операций, которые выполняются при использовании метода координатного спуска, сводится к следующему:

а) подбирается такое значение первого неизвестного, которое обеспечивает «замыкание» первой разрезанной связи;

б) второе неизвестное подбирается с тем расчетом, чтобы «замкнулась» вторая разрезанная связь, а вычисленное ранее первое неизвестное считается зафиксированным и может быть отнесено к внешним воздействиям (при этом, естественно ,условие замкнутости первого разреза нарушается);

в) третье, четвертое и т. д. неизвестные вычисляются при найденных ранее фиксированных значениях второго, третьего и т. д. неизвестных;

г) после определения последнего неизвестного цикл расчета повторяется, начиная с первого неизвестного, которое разыскивается при фиксированных значениях всех остальных неизвестных, полученных на предыдущем цикле.

Следует отметить, что для вьшолнения перечисленных выше шагов координатного спуска вовсе не обязательно заранее вычислять и хранить в запоминающем устройстве все коэффициенты системы нелинейных уравнений, а можно вычислять некоторые из них, по мере надобности, каждый раз заново на очередном шаге. Это обстоятельство создает определенные удобства при выполнении счета на ЭЦВМ с ограниченным объемом запоминающих устройств.

с учетом изложенной выше идеи рассмотрим более подробно процесс решения системы нелинейных уравнений (166) методом координатного спуска.

Пусть выбрано некоторое приближение для значений неизвестных {х:</>, xi\ xJ\ xU)}, соответствующее

/-му этапу расчета. Если считать, что все л;</> приложены в тех местах, где устранены соответствующие связи, а величины их зафиксированы, то можно найти перемещения по направлению устраненных связей:

nb

. (171)

Будем менять одно из неизвестных, например xJ}, давая ему приращение, равное AxjK При этом значение пере-

мещения в месте устраненной П-й связи изменится на величину

Де<") = б -АлгС) -

(172)

где Я{,> -натяжения вантовых элементов, соответствующие значениям неизвестных xJ т. е.

я(/) = яо + я;+ 1:л,„х</). (173)

а ДЯ</)-приращения натяжений от изменения xJ} на величину AxJK равные:

ДЯа) = Л„,Дх</). (174)

С учетом (174)

Де(/) = б„ „ АхП - Де<)= б„ „ AxU) -

.(175)

2 "i" »[ {нj,i> + h,„/JY (я(/))2

Для того чтобы выполнялось условие замыкания щ-а связи, требуется, чтобы

еШ + Де/) = 0. (176)

Рассматривая (176) как нелинейное уравнение относительно неизвестного АхЦ}, можно решить его любым

известньш приближенным методом и уточнить значение rt,-ro неизвестного, после чего процесс повторяется для

Пг+1-Й связи.

§ 26. ВОПРОСЫ СХОДИМОСТИ. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

Изложенный в предыдущем параграфе метод координатного спуска сходится, если минимум функции 0{Xi, Х2, -, Хп) является единственным и на любом из направлений L() имеется только одна точка относительного минимума. Другими словами можно говорить, что метод

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [ 32 ] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63