Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Таким образом, можно считать доказанным, что всегда существует возможность подбора такой основной системы, у которой все натяжения вантовых элементов являются положительными, и остается лишь указать алгоритм поиска такой системы.

Рис. 48

Идея такого алгоритма состоит в том, что для каждого отрицательного Н,, который получается в результате расчета произвольной основной системы, подбираются такие множители Оп, которые «не портят» положительные значения Ньг (&2<&i), полученные ранее. Иллюстрация алгоритма представлена на рис. 48, а обоснование его лучше всего привести в геометрической трактовке.

Наличие отрицательного Нь, означает, что начало координат лежит вне области допустимых значений неизвестных Q (либо, что условия (177) противоречивы и области й не существует), причем гиперплоскость Я* + + S/ij,„-«„=0 отделяет начало координат от Q.

Каждый шаг алгоритма означает перенос начала координат вдоль осей, параллельных координатным, в сто-

рону Q отделяющей гиперплоскости н1 + кь,пХп =0 до

тех пор, пока это движение находится в допустимой области пространства, определяемой не всеми, а лишь «предыдущими» (в смысле нумерации) гиперплоскостями.

Из того факта, что «предыдущие» (или уже «проработавшие») неравенства в дальнейшем уже не нарушаются, следует монотонность алгоритма, а тот факт, что число неравенств (177), конечно, убеждает нас в том,что полученный алгоритм является сходящимся.

Работу алгоритма для случая двух неизвестных и шести ограничений можно проиллюстрировать в геометрической трактовке:

а) шаг О-О] соответствует улучшению ограничения 2 при помощи изменения координаты Xi до тех пор, пока это позволяет ограничение 1;

б) шаг Oi-О2 соответствует улучшению ограничения 2 при помощи изменения координаты Хг;

в) после шага О1-О2 случайно оказалось, что ограничения 3 а4 улучшены и остается лишь улучшить ограничение 5;

г) шаг О2-Оз соответствует улучшению этого ограничения при помощи изменения Xi до тех пор, пока это позволяют ограничения /-4;

д) последним шагом о3-о4 координата Хг улучшает ограничения 5 и выводит точку о4 на границу области Q.

Описанный выше алгоритм приводит нас всегда на границу области допустимых значений неизвестных, при этом по крайней мере одно из натяжений, например натяжение Байтового элемента bi, равно нулю, т. е.

Я> = + я;. + h,nXn=- 0. (189)

Здесь вновь содержится определенное неудобство, поскольку прн Нь! =0 обращается в бесконечность величина аёл; [см. (175)] и, следовательно, верхняя оценка корня уравнения (176), вычисленная по формулам (182), может лежать на бесконечности. Такой результат, правильный по существу, не может быть признан удачным с точки зрения построения вычислений, и именно поэтому мы оцениваем выражение (189) как несущее неудобство.

Для систем, допускающих создание предварительного напряжения в нагруженном состоянии, можно ука-

зать на прием, позволяющий обойти описанное неудобство. Для этого сузим область Q до размера Q*, ограничив ее неравенствами

Н1 + S hbnXn > О (190)

вместо неравенств (177).

Если теперь применить описанный выше алгоритм, то мы перенесем начало координат на границу суженной области Q*, а исходное приближение Яь° окажется лежащим внутри области Q, так как на границе области Q* выполняется лишь условие

Hl, + hb,nXnO, (191)

Н1 + + S hb,n Хп = н1>0. (192)

Это прием, к сожалению, не может быть без ограничений применен к вантово-стержневым системам, не допускающим предварительного напряжения в ненагру-женном состоянии, поскольку здесь область Q* может иметь с Q часть общей границы или совпадать с ней полностью. Однако в большинстве случаев упомянутым приемом рекомендуется пользоваться.

Что касается случая систем без предварительного напряжения в ненагруженном состоянии, то при их расчете, очевидно, следует использовать более тонкие оценки модуля корня, чем те, которые даются первым из неравенств (182), либо использовать приемы вычисления корня нелинейного уравнения, не требующие двусторонних оценок области существования корня.

В заключение отметим, что все описанные выше приемы для поиска границы области являются типичными приемами математического программирования [21, 34,92] и, по-видимому, могут быть решены в других вариантах. В частности, можно было бы использовать и классический симплекс-метод Данцига, однако при этом в матрице на местах нулевых членов могли бы появиться какие-либо числа. Это требует расширения количества ячеек оперативной памяти, в то время как описанный выше метод позволяет записать матрицу ЦЛьпИ компактно (без нулевых элементов).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63