Снос построек: www.ecosnos.ru 
Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Глава 7. ПРИМЕНЕНИЕ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА

§ 28. МЕТОД НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА И ЕГО МЕХАНИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Системы алгебраических уравнений, к которым приводит использование метода сил и метода перемещений (а также и смещанного метода), являются нелинейными. Методы рещения таких систем немногочисленны и разработаны недостаточно подробно. Одним из наиболее широко применяющихся методов является метод Ньютона.

В первую очередь дадим математическое описание этого метода решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Параллельно выясним физический смысл тех математических операций, к которым приходится прибегать при использовании метода.

Как известно [15, 18], сущность метода Ньютона состоит в том, что некоторое t-e приближение {xi\x2\...,xn} к точному решению {xi, Хг, х»} системы уравнений:

fi (xi, Хг, д;„) =0; 2 (хь дгг, х„) =0;

U{Xu Х2, Хп) =0

(193)

уточняется путем решения системы линеаризованных уравнений:

дх«

дхп дх,г

г. = 0;

дх«

-2„ = 0.

(194)



Здесь np=f,[x[),xl),..., х) (/=1, 2,..., п);

(/, 1, 2..... п);

гу = дг/"->:} -погрешность компоненты / приближенного решения к уточненному на t-м этапе. Если определитель

А<"> =

dxi дх„

dxi дх дхп

dxi дх2

(195)

то можно решить систему (194) и получить компоненты уточненного решения из соотношений:

(/--= 1. 2,..., n)

(196)

(196a)

Здесь A

определитель, получающийся при замене /-Г0 столбца в определителе А( числами

fr...../1";

-элементы обратной матрицы (по отношению к матрице, для которой записан определитель Д()).

Если процесс начат от какого-либо исходного приближения {xi\ ATi", х}, то, повторяя его т раз, придем к приближенному решению {xiK xi"\ xj!"}, точность которого может быть оценена близостью к нулю вели-

„„„ fim) f(m) fim)

чин ;i , [2 , In .



Описанный выше процесс сложен тем, что при каждом последовательном приближении необходимо находить элементы обратной матрицы или во всяком случае решать уравнения (194). В связи с этим более удобным оказывается использование модификации метода Ньютона, предложенной Л. В. Канторовичем [22].

Метод Ньютона-Канторовича состоит в том, что в уравнениях (196а) на всех этапах последовательных приближений элементы обратной матрицы gki заменяются на gp или, что то же самое, решается система уравнений

1 а/<°>

(197)

(/=1,2.....п).

Этот метод сходится несколько медленнее, чем описанный в начале настоящего параграфа, однако возможность существенно упростить итерации окупает увеличение числа этапов последовательных приближений и в конечном счете может ускорить вычисление.

Для того чтобы уяснить физический смысл расчетных операций метода Ньютона-Канторовича, в первую оче-

5/(0)

редь рассмотрим величины

., являющиеся коэффи-

циентами линеаризованной системы уравнений (197). Для уравнений метода сил (98):

/ л "лл, л, " л

KbDb hbn.

(198)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63