Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Подставляя сюда значение 8nni из (162) и учитывая, что в том случае, когда нити являются упругими, ваитовые элементы имеют двойную нумерацию (с индексом с и индексом Ь), т. е. каждому значению hnb можно найти соответствующее ему Ппс, получим:

пьКп,

(200)

Нетрудно заметить, что это выражение равно перемещению по направлению неизвестного п от воздействия неизвестного Пи вычисленному для обычной комбинированной стержневой системы (линейной), которую мы получим из заданной вантово-стержневой конструкции, если заменим все гибкие нити стержнями с приведенной жесткостью:

(201)

Следовательно, решение системы линеаризованных уравнений (197), которое мы выполняем при каждой итерации, является ничем иным, как расчетом описанной выше комбинированной стержневой системы (мы ее будем называть вспомогательной системой [50]).

К аналогичному выводу можно прийти, если рассматривать систему уравнений метода перемещений. Там коэффициенты равны реакции в наложенных связях основной системы при решении линейной вспомогательной системы методом перемещений.

Таким образом, решение системы уравнений метода перемещений (метода сил) с использованием итерацион-пого способа Ньютона - Канторовича состоит в том, что выбирается вспомогательная система и рассчитывается на заданные воздействия по методу перемещений (сил). В результате этого расчета получим значения неизвестных перемещений (неизвестных метода сил), а затем вычислим невязки, для чего узлам действительной нелинейной системы сообщают смещения (в разрезах приклады-

вают усилия), полученные из расчета линейной вспомогательной системы.

Уточненные решения вновь разыскиваются как неизвестные перемещения (неизвестные метода сил) в линейной вспомогательной системе, но уже под воздействием скорректированных на величину невязки реакций в лишних связях (скорректированных значений грузовых перемещений основной системы). Процесс повторяется до тех пор, пока величины невязок не станут пренебрежимо малыми.

§ 29. СХОДИМОСТЬ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА

При решении системы уравнений

fi{Xi, Xz, Хп) =0

с якобиевой матрицей

= 1, 2,	... n)
dfi dh
dXi дх2
dh dh
dxi dx2
dfn a/„
dXi dX2	" dxn

(202)

(203)

условия сходимости формулируются в виде следующей теоремы, доказанной Л. В. Канторовичем [22].

Теорема 12. Если в области G функции fi(x, Хп) имеют вторые производные, не превосходящие по абсолютной величине числа L, в точке xWeG матрица fx{x) не вырождена и выполнено условие

h=MLrinK-,

где т)>1/,(х<о), 4°). ....4°))

>/7Hi=maxSg,<).

ТО система (202) имеет решение {xi = au Х2=а2, = ап}, которое находится в области

Хп =

iX - ;с(°) I =- max ] x, - xf)\ < ц (В) « может быть получено как предел последовательности

а быстрота сходимости оценивается неравенством

1;с<"-а1,<(1 /Г=1л)д:<>-а1. (О)

Для того чтобы уяснить физический смысл условий этой теоремы, обратимся в первую очередь к неравенству (А) теоремы. Величины, входящие в это неравенство, характеризуют следующие особенности расчетной схемы: п - число неизвестных;

- ощибка первого приближения;

- норма матрицы, обратной по отношению к матрице линеаризованной системы уравнений;

L-степень нелинейности системы.

Такое толкование величин, определяющих сходимость процесса последовательных приближений, позволяет сформулировать некоторые практические правила, соблюдение которых ведет к ускорению счета.

Первое из них тривиально и состоит в требований сокращения числа неизвестных систем. В этом смысле использование системы уравнений метода перемещений (141) со сложной основной системой является более желательным, чем использование развернутой системы (138). Дальнейшее уменьшение числа неизвестных не всегда удается произвести без изменения степени нелинейности системы уравнений, что может повлечь за собой ухудшение оценки h, за счет увеличения L.

Второе правило состоит в стремлении уменьшить ошибку первого приближения т), что может быть достигнуто удачным выбором вспомогательной системы. В частности, если из каких-либо соображений (а чаще всего эти соображения существуют) известны приблизительные величины натяжений Нь в загрузочном состоянии системы, то, выбирая вспомогательную систему, можно использовать эти величины при вычислении EF. Кроме уменьшения ошибки первого приближения это существенно уменьшит и оценку L степени нелинейности системы. Что касается нормы М, то обычно она гораздо ниже при использовании системы уравнений метода перемеще-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63