Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Глава 8. ПРИМЕНЕНИЕ ШАГОВОГО МЕТОДА К СТАТИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ И АНАЛИЗУ УСТОЙЧИВОСТИ

§ 34. О ШАГОВОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Описанные выше итерационные способы решения системы нелинейных алгебраических уравнений сходятся с удовлетворительной скоростью лишь в тех случаях, когда вантово-стержневая система не находится в окрестности критического состояния (в смысле потери устойчивости). Действительно из текста теоремы Л. В. Канторовича (см. § 29) следует, что если детерминант якобиевой матрицы (203) равен нулю (система находится в критическом состоянии), то итерационный процесс расходится. Очевидно, что если система загружена силами, близкими к критическим, то сходимость итерационного процесса будет настолько медленной, что практически получить какие-либо результаты расчета не представится возможным.

Ввиду отмеченного выше, приходится обратиться к методу решения системы нелинейных уравнений, свободному от упомянутого недостатка, поскольку речь идет об исследовании устойчивости или о расчете вантово-стержневых систем по деформированной схеме. В качестве такого метода изберем шаговый метод решения, который применительно к задачам строительной механики развивался в ряде работ [16, 32, 51, 52, 87, 88]. Обычно в применении шагового метода исходили из физических соображений, в связи с чем по существу один и тот же метод получил различные обоснования и наименования у различных авторов («метод многоступенчатого нагружения» [16], «метод последовательных деформаций» [32] и т. п.).

представляется более правильным начать с описания математической идеи метода [14], а потом раскрыть его механический смысл.

Итак, пусть необходимо решить систему нелинейных уравнений

h{x,.x„...,x„)=0 (247)

(i= 1.2.....п).

Поставим в соответствие системе (247) систему

Fi{t, Xi, Х2, Хп) =0 (248)

(1 = 1, 2, .... п),

причем параметр t введем таким образом, чтобы при некотором его значении t=t* система (248) тождественно совпадала с (247), а при <°>решение системы (248)

д=д(о> ,x2=xi°y ,...,Хп=х<У (249)

было известно.

Принимая t за независимую переменную и считая Xi, Хп функциями этой переменной, продифференцируем уравнения (248) по t. В результате получим систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

+ (250)

(t = 1.2,...,п)

относительно неизвестных .

Очевидно, что кривая в (п+1)-мерном пространстве

Xi=Xiit), X2 = X2{t), Xn = Xnit), (251)

определяемая системой (248) и проходящая через точку (249), является интегральной кривой системы дифференциальных уравнений (250). А эту интегральную кривую можно построить решая задачу Коши при начальных условиях

t=m, х-, = л:(0), x, = xi>.....x„ = xiO). (252)

Заканчивая построение интегральной кривой при значении t = t*, получим решение интересующей нас системы нелинейных уравнений (247).

Что касается способа решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, то здесь могут быть использованы любые численные методы, хорошо разработанные в вычислительной математике [15].

В настоящей работе в качестве численного метода будем применять метод Эйлера. Для этого выберем шаг интегрирования М = {т - целое число) и будем ис-т

кать приближенные значения координат интегральной кривой, соответствующие точкам: Л*), "4"

Если считать шаг At достаточно малым, то выражения производных в (250) можно заменить соответ-dt

ствующими разностными отношениями Подстав-

ляя начальные условия (252) в выражения для коэффициентов и в правые части системы (250), получим систему линейных алгебраических уравнений:

Y{YAxf + {YAtO (253)

(t= 1,2.....п),

из которой определяются приращения AxJ) на первом шаге интегрирования.

Следующая точка интегральной кривой:

т = т t, д:р = х1°) + Ад:), 41) = 40) ,. ..., 4»> = д;Г + (254)

вновь может быть принята за исходную, что позволяет определить приращения Axf> на втором шаге и т. д., процесс заканчивается после выполнения т шагов расчета.

Как видно из вышеизложенного, форма системы дифференциальных уравнений (250) самым существенным образом связана со способом введения параметра дифференцирования t. Можно, например, воспользоваться одним из двух формальных способов:

I) F,[ х, t) = x~ xf) + t[f[x)~x + xf)] (248а)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63