Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

для качественного анализа уравнений смешанного Мб тода, необходимо учесть, что степень неустойчивости системы равна сумме степенейнеустойчивости ее частей. Так, если система является п раз статически неопределимой и р раз кинематически неопределимой, причем фиксированный параметр t больше, чем I критических значений параметра нагрузки для простейших составных элементов основной системы, а в преобразованной по Гауссу к треугольному виду матрице коэффициентов системы уравнений смешанного метода обнаружено р отрицательных чисел среди первых п диагональных элементов и q отрицательных чисел среди р последующих диагональных элементовто степень неустойчивости и равна:

= ы1 + = / - /7 + V. (272)

Это и есть правило для определения степени неустойчивости системы при анализе ее смешанным методом. Использование этого правила тем более естественно, что на каждом шаге при решении системы линейных алгебраических уравнений все равно выполняется преобразование матрицы коэффициентов к треугольному виду (прямой ход по Гауссу) и, следовательно, определение чисел р и <7 не связано ни с какими дополнительными вычислениями. Что касается количества / критических параметров для элементов основной системы смешанного метода, меньших заданного параметра интенсивности внешней нагрузки, то и это число подсчитывается очень просто. Действительно, основная система состоит из простейших элементов - стержней с шарнирно опертыми концами. Сравнивая ряд из критических сил для участков ствола

SKP= („=I,2....),

расположенных в порядке возрастания модулей S, с

величинами Sy усилий в участках, можно легко определить число неравенств

Напомним, что в (267) сперва выписаны все уравнения совместности (условия метода сил), а затем все уравнения равновесия (условия метода перемещений).

Sl»>Sf, (273)

которое Ii равно величине /.

§ 38. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ КАЧЕСТВЕННОГО МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

Полученные выше правила для вычисления степени неустойчивости системы, вообще говоря, относятся к линейным алгебраическим уравнениям некоторого г-го этапа расчета. Эти расчеты, как уже упоминалось, описывают поведение некоторой комбинированной стержневой системы со стержнями, обладающими податливостью (260) и заменяющими ваитовые элементы. В связи с этим может возникнуть вопрос о том, в какой мере устойчивость или неустойчивость такой линейной системы может характеризовать качество равновесия заданной нелинейной вантово-стержневой системы.

Нетрудно заметить, что уравнения, записанные в табл. 4, имеют те же коэффициенты, что и уравнения в вариациях (165), полученные для произвольной нелинейной ваитово-стержневой конструкции. Действительно, система линейных алгебраических уравнений (267) получена путем линеаризации исходных нелинейных соотношений, причем линеаризация выполнена в окрестности некоторого загрузочного состояния, характеризуемого значением параметра иитенсивиости внешней нагрузки t. Если считать, что исходные нелинейные уравнения относятся к невозмущенному состоянию системы, то линейные уравнения (267) описывают поведение системы при малых возмущениях Дл:„ и Awp обобщенных координат, т. е. являются уравнениями в вариациях.

Если воспользоваться известной теоремой А. М. Ляпунова [38] об устойчивости по первому приближению, то можно сделать вывод об устойчивости невозмущенного состояния нелинейной системы, если устойчивы состояния, описываемые линеаризованными уравнениями в вариациях. Такой вывод вполне законен и правомерен для малых окрестностей тех точек, которые характеризуются значениями параметра интенсивности внешней нагрузки:

т, /С), (2), т, (+), t(l (274)

Однако распространять этот вывод на весь промежуток между узлами интегрирования (*) и в общем

случае нельзя. Это положение можно наглядно проиллюстрировать, если обратиться к известному геометрическому истолкованию тех расчетных операций, которые выполняются при решении задачи Коши методом Эйлера (см. §35).

Рис. 54

Пусть, например, кривая состояний равновесия имеет предельную точку N (рис. 54,а), где устойчивая ветвь ON (степень неустойчивости ы =0) сопрягается с неустойчивой ветвью ЛЛ (степень неустойчивости ы =1). В точке Л вновь происходит обмен устойчивостью, и ветвь NK характеризуется значением ы =0. Нетрудно заметить, что ломаная Эйлера «проскакивает» мимо не-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63