Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

определенность, самосопряженность) позволяют осуществить вариационную постановку этих задач, т.е. заменить задачу решения дифференциальных уравнений (7.1) задачей нахождения минимума функционала

1{и) = - \(Аи, u)dQ. - \fudQ. = - \{Buf DBu - \fudQ..

(7.2)

Это значит, что значения и доставляющие минимум функционалу (7.2), в то же время являются и решением системы (7.1). Вариационная постановка задачи имеет определенные преимущества, которые вытекают из того, что порядок дифференциального оператора понижается в 2 раза. Отсюда создаются условия более удобного формулирования граничных условий, смягченных требований к базисным функциям и более простого представления разностных вьфажений. Используя обозначения механики функционал (7.2) можно представить в виде

1{и) U-W--- \s(jdQ. - \fudQ..

(7.3)

г 1,...пг

Рис. 7.1

Метод конечных элементов вариационный, т.е. является методом нахождения минимума функционала (7.3). Основная концепция МКЭ заключается в непосредственной дискретизации

рассчитываемой системы, которая расчленяется расчетной сеткой на конечные элементы. На полученной дискретной модели вводится система кусочно-непрерывных функций {(pi(x)}, определенных на конечном числе подобластей - звездах конечных элементов (рис. 7.1), т. е.

<Pi(x) =

xgQ,

Искомая функция перемещений по области системы и{х), xeQ приближенно принимается в виде:

(7.4)

где L - общее число узловых неизвестных, которое в общем случае не равно числу

dqi д

d dqi

{U-W) =

(7.5)

= Kq-P = 0

при 1=1,2...L.

По найденным из (7.5) значениям qi на основе (7.4) определяется функция перемещений по области системы, а по ней на основе известных соотношений теории упругости и другие компоненты напряженно-деформированного состояния.

Расчленение системы на конечные элементы, выполненное на первом этапе расчета, дает возможность представить потенциальную энергию деформаций П и работу внешних сил Wb виде сумм по отдельным элементам:

(7.6)

Это позволяет составлять элементы матрицы К и вектора Р из отдельных компонентов. Так, IJ элемент матрицыКи1 элемент вектора Р определяются по формулам

relj

(7.7)

где re/у, ге/ (у знака суммы) - суммирование по всем элементам, содержащим / и/

узлов, так как в каждый узел может быть введено различное число узловых неизвестных.

Функции (pi называются координатными, аппроксимирующими, базисными и др. Значения узловых неизвестных qi называются степенями свободы, неизвестными узловыми перемещениями, узловыми неизвестными и др. Спор о терминах всегда бесконечен и при обсуждении той или иной проблемы нужно заранее договориться какие термины выбрать для щ и qi. Перечисленные выше термины в той или иной степени отражают сущность проблемы. Здесь выбраны (о вкусах не спорят) термины для cpi -базисные функции (БФ), для qi - узловые неизвестные (УН).

Узловые неизвестные qi в МКЭ, как правило, снабжаются физическим смыслом и в ряде случаев представляют собой искомые значения линейных и угловых перемещений в узлах расчетной сетки. Во всяком случае, для конечно-элементных моделей конструкций высотных зданий это так.

На основе подстановки (7.4) в (7.3) задача определения непрерывной функции и(х) сводится к определению значений конечного числа узловых неизвестных qi, которые находят из условия минимума функционала (7.3), т.е. из системы уравнений:

узловые неизвестные; Щг, Pt - компоненты матрицы жесткости и вектора узловых сил г -конечного элемента.

Эти компоненты получаются из подстановки уравнений (7.6) в (7.5) и вьщеления Ij слагаемого из выражения для потенциальной энергии деформации, а также / слагаемого из выражения для работы внешних сил для г конечного элемента, т. е.:

{B(pifDB{(pMQ,; (7.8)

Plr =

(pJfdQ. (7.9)

Таким образом, МКЭ дает возможность строить разрешающую систему уравнений (7.5) на основе рассмотрения каждого отдельного конечного элемента, что очень удобно в реализации и является важным достоинством метода.

Систему уравнений (7.5) Kq-p=0 можно трактовать как уравнение равновесия. Ее аналогом в строительной механике стержневых систем является каноническая система уравнений метода перемещений. Выражение (7.8) для получения компонентов матрицы жесткости было получено из функционала Лагранжа, однако его можно получить и из принципа возможных перемещений, как это практикуется в строительной механике стержневых систем, т.е.

где sl, <Jj - деформации и напряжения элемента, соответствующие единичному значению /(/) степени свободы.

Выражение (7.9) для получения компонентов вектора Р в строительной механике стержневых систем трактуется как процедура приведения местной нагрузки к узловой.

Таким образом, процедура решения задачи по МКЭ полностью соответствует методам строительной механики стержневых систем. Некоторое отличие можно проследить только в процедуре составления матрицы жесткости: для МКЭ всегда используется формула (7.8), для стержневых систем матрица жесткости часто строится из других соображений. Правда, стержневые системы имеют одну особенность: гипотеза плоских сечений, лежащая в основе их расчета, с одной стороны, обусловливает совместность конечных элементов, с другой стороны, порождает дифференциальный оператор задачи. Поэтому здесь появляется возможность подобрать такие базисные функции, которые, с одной стороны, являются решением однородного дифференциального уравнения, с другой стороны, дают возможность построить совместные конечные элементы. МКЭ в этом случае для стержневых систем будет точным методом в смысле точного решения дифференциальных уравнений.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33