Снос построек: www.ecosnos.ru 
Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

Вместе с тем можно привести примеры, когда есть смысл для стержневых систем использовать аппарат МКЭ по выбору базисных функций. В [3] приведены примеры построения матриц жесткости стержня, работающего в условиях стесненного кручения и стержня на грунтовом основании. Для таких задач были применены приближенные базисные функции и получены оценки погрешности приближенного решения.

Таким образом, глубокая связь МКЭ с методами строительной механики стержневых систем может оказать взаимное положительное влияние. С одной стороны, МКЭ может использовать богатый опыт методов расчета стержневых систем, с другой стороны, в необходимых случаях имеется возможность проводить приближенное построение матриц жесткости стержней с использованием приемов МКЭ с последующей оценкой сходимости на основе хорошо разработанного математического аппарата МКЭ.

Характерным примером такого взаимного обогащения является то, что в основе принятия большинства базисных функций МКЭ лежат полиномы, заимствованные из стержневых систем:

• полилинейные полиномы - для конечных элементов плоского напряженного состояния, аналог линейной функции для сжато растянутого стержня

• балочные полиномы - по граням конечных элементов плит - аналог кубического полинома для изгибаемого стержня.

Кроме того, практически идентичность этих методов открывает возможность построения комбинированных моделей стержневых и пластинчатых систем (до появления МКЭ расчет стержневых систем был прерогативой методов строительной механики, а расчет пластинчатых систем - методов теории упругости), столь характерных для конструкций высотных зданий.

7.2 Выбор базисных функций

После выбора системы базисных функций {(pi) процедура МКЭ представляется достаточно формализованной. Выбор же {(pi} - самый ответственный этап, так как он определяет сходимость метода, точность решения задачи, разрешимость системы (7.5). Мнение о том, что наглядность МКЭ позволяет достаточно просто строить координатные функции из чисто физических соображений, на основе интуиции и т.п., может привести к грубым ошибкам. Вместе с тем имеется аппарат, позволяющий правильно законструировать или проверить выбранные координатные функции с точки зрения сходимости решения, обусловленности системы (7.5) и других факторов.

В работе [3] приводится подробное рассмотрение этого аппарата, даны примеры обоснованного построения матриц жесткости для всех классов задач (стержневые системы, плиты, балки-стенки, оболочки, конструкции на упругом основании, массивы). Ниже приводятся только основные положения этого аппарата.

Расчленение системы на конечные элементы дает возможность использовать рассмотрение отдельных конечных элементов не только для построения разрешающей системы (7.5), т.е. для практического решения задачи, но и для теоретических



исследований координатных функций, абстрагируясь при этом от геометрии рассматриваемой области, граничных условий, нагрузки. Это обуславливает введение понятия «тип конечного элемента», который характеризуется набором степеней свободы, видом координатных функций, геометрией области Qr, классом решаемых задач (видом оператора А), для которых он предназначен. Координатные функции на г конечном элементе могут быть введены в явном или неявном виде.

В первом случае каждой jr степени свободы ставится в соответствие jr аппроксимирующая функция, т.е. аппроксимация имеет вид:

Uh(x)=Tjjrjrixy, xeQ,, (7.10)

где пг - общее число степеней свободы относящихся к г конечному элементу с областью Q-r.

Во втором случае аппроксимация задается степенным полиномом, т.е. в виде щ{х) = а,у/у + arWir + <jr¥jr + - + тгтЛ е ; (7.11) где Qjr и x/jr (jr=l, 2, ...,mr)- коэффициенты и степенные функции. Степени свободы qjr связаны с коэффициентами ajr соотношением

Матрица V строится, как правило, из соображений, что при подстановке в полином координат определенного узла величина щ должна принимать значение узлового неизвестного q в этом узле. Для однозначного перехода от к и наоборот необходимо, чтобы матрица Гбьша квадратной, т.е. пг=тг. Это достигается за счет варьирования числа членов в полиноме, которое производится с учетом удовлетворения координатными функциями определенных требований, рассматриваемых ниже.

Тождественность МКЭ и вариационно-разностных методов бьша показана в отечественных [5] и зарубежных [8, 9] работах. Взаимосвязь этих методов создает теоретические основы для выбора и оценки базисных функций МКЭ. Так, на основе работы [10] можно сформулировать требования, которым должны удовлетворять функции (pi, чтобы обеспечить сходимость МКЭ:

1) система базисных функций {(pi) должна принадлежать энергетическому пространству На дифференциального оператора задачи Л. Это означает, что наряду с удовлетворением главным граничным условиям представление разрешающей функции и должно обеспечить существование по всей области Q тех перемещений и их производных, которые входят в функционал (7.2);



2) функции (pi ДОЛЖНЫ быть линейно независимы. Это требование необходимо для разрешимости системы (7.5);

3) система базисных функций {(pi) должна быть полна в энергетическом пространстве оператора. Это означает, что функции (7.4) при неограниченном сгущении сетки могут аппроксимировать в энергетическом смысле любые возможные перемещения по области Q. с любой заранее заданной степенью точности.

Таким образом, теоретическое обоснование функций (pi может быть сведено к их проверке на удовлетворение перечисленным выше требованиям.

Принадлежность к энергетическому пространству оператора А устанавливается существованием компонентов напряженно-деформированного состояния, которые входят в соответствующий функционал. Так, для трехмерного и плоского напряженного состояния дифференциальный оператор А имеет второй порядок, в функционал Лагранжа входят первые производные по перемещениям. Поэтому для их существования необходимо обеспечить непрерывность перемещений по области системы. Из тех же соображений при решении задач изгиба плит или оболочек (порядок дифференциального оператора - 4) необходимо обеспечить непрерывность как перемещений, так и их первых производных (угловых перемещений).

По области конечных элементов, как правило, это требование удовлетворяется автоматически, поэтому проверять надо неразрывность соответствующих компонентов только по линиям контактов конечных элементов. В связи с этим элементы, координатные функции которых удовлетворяют этому условию, называются совместными.

Линейная независимость координатных функций проверяется достаточно легко и, как правило, выполняется для МКЭ автоматически.

Для проверки полноты необходимо установить порядок р полинома, который выражается линейными комбинациями базисных функций, и в случае р>т (2т - порядок дифференциального оператора) третье требование выполняется. В работе [12] получено соотношение, позволяющее определить р для произвольных сеток и наборов степеней свободы в узлах.

Если координатные функции удовлетворяют всем трем перечисленным выше требованиям, то сходимость МКЭ оценивается аналогично вариационно-разностным методам.

На основе теорем об оценках погрешности интерполяции функций степенными полиномами в работе [6] показано, что

iu-u,\ <ch\ IcT-aX <ch" (7.12)

где и, щ - точное и приближенное решения; h - максимальный диаметр элементов;



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33