|
|
  Как осуществляется строительство промышленных теплиц?  Тенденции в строительстве складских помещений  Что нужно знать при проектировании промышленных зданий? |
Строительные лаги Справочник с - константа, измеряющая погрещность, - норма в пространстве L2, дискретный At(«,-«J- аналог tuiit- порядок сходимости по перемещениям и напряжениям, зависящим согласно [7] от порядка аппроксимации р и порядка дифференциального оператора А а, (Th - соответственно точное и приближенное значения напряжений. Приведенные оценки имеют не только чисто теоретическое значение, но могут оказаться полезными при практических расчетах, например, если интересует вопрос, как далеко полученное приближенное рещение отстоит от точного. 7.3 Оценка приближенного решения Приведем методику оценки приближенного решения на основе оценок (7.12) для конкретного численного примера.
Рассчитаем жестко подвешенную прямоугольную балку-стенку под равномерно распределенную нагрузку /7=500 тс1м, приложенную к верхней грани (рис. 7.2). Модуль упругости материала Е=2Т06шс/ж, коэффициент Пуассона v=0,15; толщина конструкции б=,\м. Для решения этой задачи по МКЭ использовался прямоугольный конечный элемент плоского напряженного состояния с полилинейными базисными функциями. В [3] показано, что для этого конечного элемента в (7.12) =2, а?=1. Рис. 7.2 Решение этой задачи в рядах с высоким порядком сходимости для некоторых точек области приведено в графе 5 табл. 7.1. В графах 6, 7, 8, 9 приведены значения перемещений и напряжений для трех точек нижней грани, полученные решением по МКЭ для различной густоты сетки. Как и следовало ожидать, порядок сходимости для перемещений составляет }?, а для напряжений h, так как с удвоением густоты сетки разность между точным и приближенным решением для перемещений уменьшается примерно в 4 раза, а для напряжений примерно в 2 раза. Табл. 7.1
Примечание: величины перемещений даны в мм, а напряжений - в кгс1см. Ввиду гладкости граничных условий, нагрузки и области системы не следует ожидать наличия каких-либо сингулярностей, в связи с чем, оценка (7.12) в данном случае окажется достаточно правомерной. Из данного примера видно, что если точное решение и неизвестно, то на основе оценки (7.12) и двух расчетов, например на сетке 4x4 и 8x8, можно составить представление о точном решении. Так, для точки 3 при сетке 4x4 V4x4=-0,7857, а при сетке 8x8 М8х8=-0,9053. Разность между ними составляет 0,1196. Можно ожидать, что при следующем двойном сгущении сетки эта разность уменьшится в 4 раза, т.е. vi6xi6=+0,9053+0,25x0,l 196=0,9352, а Уз2х32=+0,9352+0,25х(0,9352 - 0,9057)=+0,9427. Продолжать этот ряд можно выяснять точные пределы, в которых лежит точное значение этого перемещения. Имеется другой, по-видимому, более короткий путь оценки точного решения основанный на перенесении на МКЭ экстраполяции Ричардсона для разностных схем, которая обоснована и исследована в работе [14]. Продемонстрируем эту идею на вьшхеприведенном примере. Уточненное решение й ищется в виде: й = CiUi + C2U2 где м/ и Ы2 - решения, полученные при последовательном сгущении сетки (для вышеприведенного примера для вертикального перемещения точки 3 - ы/ = Уз,4х4=0,7857, а М2 = V3,8x8=0,9053). Ci и С2 находятся из системы уравнений: С, + С2 = 1 C,hl+CX =0 Для вышеприведенного примера /=2 (порядок сходимости прямолинейного конечного элемента по перемеш,ениям), а h2=0.5h, (т.е. сетка сгуш,алась в 2 раза). Q + = 1 СХ + Q (0.5/zi) = Q + O.25C2 = О получим Q = - 3; = 3 . Таким образом = - 3 + 1 = V3,3 + (v3,, - V,,,) = +0,9053 + (0,9053 - 0,785?) = -0,9053 + 0,03987 = 0,9452 Если взять значения v для более густых сеток, т.е. uj = Vi6xi6=0,9385, а М2 = V32x32=0,9470, то гг = 0,9470+(0,9470-0,9385) = 0,94983, т.е. практически точное решение. Использование оценок (7.12) для оценки сходимости в отдельных точках для данной задачи, дало хорошие результаты в связи с тем, что здесь отсутствовали какие-либо сингулярности. На практике сингулярность всегда присутствует: контур с входяш,ими углами, точечные опоры и нагрузки, резкое изменение толш,ины пластины и т.п. В работе [3] анализируется возможность оценки сходимости в отдельных точках, даже при наличии отдельных сингулярностей в геометрии, граничных условиях и нагрузке. В этой же работе приводится сравнение различных типов конечных элементов с точки зрения точности решения и количества необходимых вычислений, а также приводятся конкретные численные примеры оценки точности. В таблице 7.2 приведены некоторые сведения о конечных элементах, наиболее часто используемых при расчете конструкций высотных зданий. Порядок сходимости, приведенный в графах 3, 4, может быть использован для оценки приближенного решения по вышеприведенной методике. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
