Строительные лаги  Справочник 

0 1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

Подставляя выражения (8) в уравнения равновесия (б), получим три уравнения, первое из которых записывается следующим образом:

... (9)

Граничные условия при отсутствии объемных сил записываются следующим образом:

6т*тп ryi "О; > (10)

Подставив равенства (8) и используя условия Коши (5), запишем граничные условия (10) в виде

Сравнение уравнений (9) и (11) с уравнениями равновесия и граничными условиями теории упругости показывает, что температурные перемещения соответствуют перемещениям, вызванным фиктивными объемными и поверхностными силами. Причем первые из них пропорциональны градиенту температур, вторые -температурам, т.е.

.£i£ dt а(£ di

ЗГ.,-.; Утф; ,.nt. (13)

Температурные напряжения, определяемые из (8), включают напряжения от действия заменяющих объемных и поверхностных сил и гидростатического давления a£t 1(1-2 V ).

Следовательно, температурная задача сводится к задаче о напряженно-деформированном состоянии тела под действием гидростатического давления, объемных и поверхностных сил.

К такому же выводу можно п)я1йти, используя распространенный в термоупругости метод устранения деформаций [79]. Предположим, что тело, подвергающееся нагреву, разделено на бесконевдо малые элементы. Для того чтобы полностью устранить свободные температурные деформации £, = £у => г, = = af и обеспечить требования непрерывности континуума, v каждому элементу необходимо приложить равномерное давле-

ице aEt /(1-2к). Последнее можно заменить действием не-которых объемных и поверхностных сил, которые должны удовлетворять уравнениям равновесия и граничным условиям теории упругости. Подставляя в указанные уравнения нормальные напряжения dy = б, =-aEt /(1-2 V) и принимая г,у = Гхх о, определяем, что для сохранения телом начальной формы к нему необходимо приложить объемные силы

jf = -

аЕ dt

1-2V ду

«5 dt

i-2M dz

(14)

и но{»<альные усилия на поверхности, равные <*Et„ / (1-2 v).

Если затем предположить, что элементы соединены один с другим и устранить. объемные и поверхностные силы, то, очевидно, температурные напряжения в теле могут быть получены путем наложения на равномерное давление напряжений, вызванных объемными силами и нормальными усилиями на поверхности, т.е. приходим к системе уравнений (8).

Рассмотрим некоторые задачи термоупругости, необходимые для построения методики расчета и обоснования методики экспериментальных исследований инженерных сооружений. Для тонкого прямоугольного бруса постоянной толщины со сво-боднымр концами (рис. 1) температура принимается четной функцией от у, т.е. симметричной относительно оси х; поверхности по длинным сторонам сечения являются адиабатическими. На достаточном удалении от свободных концов напряжения равны [79];

JatEdy -cxtE.

(15)

Если распределение температуры несимметрично относительно оси X, то напряжения равны:

Рис. 1, Температурные напряжения в брусе прямоугольного сечения при иеравиомериом нагреве

d,-"xEt Jo(£td!/*JaEti/clt/. (16)

Для пластины с координатной плоскостью, совпадающей со срединной плоскостью хг и размерами в этой плоскости, в несколько раз превышающими толщину /г, температурные напряжения 6, и определим формулой

Если в такой пластине устанавливается стационарный тепловой поток с разностью температур между гранями t и пластина лишена возможности изгиба из плоскости от неравномерного нагрева, то максимальные напряжения

<.-«=уГ • (18)

Выражемяе (17) в общем виде можно записать следующим образом [13J:

где /г .у? площадь температурной эпюры;

5,- jtydy - статический момент температурной эпюры

относительно оси, проходящей через центр тяжести сечеиия; f/Н - - средняя температура по толщине пластины; (12 5* )/Л «. grad - средний градиент температуры по толщине пластины.

Формулы для деформаций срединной поверхности и кривизны:

е. ftdyfF.-anp, (20)

k-h-bfyy-w- (ад

Определим температурные напряжения, возникающие в длинном Щ1линдре с концентрическим круглым отверстием, если распраделение температуры осесимметричное и не зависит от координаты Z (i»ic. 2).

В цилиндрических координатах напряжения определяются по формулам [79]:

0 1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49